aturan L'HOPITAL

Limit fungsi yang telah dipelajari sampai dengan definisi turunan merupakan analisis pada besaran-besaran yang berhingga. Di bawah ini ada tiga masalah limit yang telah dipelajari:
; dan
Ketiga limit tersebut mempunyai penampilan yang sama, yaitu merupakan fungsi hasil bagi dengan pembilang dan penyebutnya berlimit nol. Jika ketiga limit tersebut dihitung dengan aturan penarikan limit untuk hasil bagi maka akan diperoleh jawaban yang tiada berarti, yakni 0/0. Nilai ketiga limit tersebut tidak dapat dikatakan tidak ada karena memang aturan hasil bagi limit tersebut tidak dapat digunakan disebabkan nilai limit penyebutnya 0.
Nilai = 1, diperoleh dengan menggunakan geometri, dan nilai dari = digunakan pemfaktoran dalam aljabar. Tentunya, akan lebih baik jika terdapat aturan baku yang dapat digunakan untuk menghitung nilai limit-limit demikian. Aturan baku tersebut adalah aturan L’Hopital.
7.1. ATURAN L’HOPITAL UNTUK BENTUK DAN
Suatu pembagian disebut bentuk tak tentu pada c,
berbentuk jika dan
berbentuk jika dan
Untuk menghitung limit dengan bentuk tak tentu seperti di atas, dapat digunakan suatu teorema yang dikenal dengan nama Teorema L’Hopital.

Teorema 8.1 (Aturan L’Hopital untuk bentuk )
Jika = 0 dan ada (berhingga atau tak berhingga) maka






Meskipun aturan L’Hopital mudah digunakan, namun haruslah berhati-hati dalam pemakaiannya. Aturan tersebut tidak boleh digunakan jika syarat-syaratnya tidak dipenuhi. Jika tidak teliti, kita dapat melakukan kesalahan-kesalahan. Di samping itu, adakalanya aturan itu tidak dapat digunakan karena bentuk yang diperoleh semakin rumit.


Tentukan
Tampak syarat L’Hopital dipenuhi, karena ini merupakan bentuk tak tentu .
Jika aturan L’Hopital diterapkan secara langsung, akan diperoleh:
= = = (bentuk semakin rumit).
Jalan terbaik adalah mengubahnya menjadi:
= =
Limit ini berbentuk dan dapat diselesaikan dengan teorema berikut:

Teorema 8.2 (Aturan L’Hopital untuk bentuk )
Misalkan =  dan ada (berhingga atau tak berhingga) maka

Dari contoh di atas, bahwa : = = = 0


Tentukan
Kita lihat bahwa persoalan tersebut merupakan bentuk tak tentu , tapi apakah aturan L’Hopital dapat digunakan? Mari kita lihat.
Jika dapat digunakan, maka akan diperoleh
yang nilai limitnya tidak ada.
Tapi apakah ini berarti tidak ada?
Sebenarnya tidak begitu, karena kita dapat mengerjakannya
=



7.2. ATURAN L’HOPITAL UNTUK BENTUK DAN
Andaikan dan , maka bagaimana dengan ? apakah akan menuju 0 ataukah menuju  atau memiliki limit yang lain?. Aturan L’Hopital dapat digunakan untuk mencari limit dari bentuk tak tentu seperti ini, setelah diubah menjadi bentuk atau , karena
 

Demikian juga, bentuk tak tentu  -  akan dapat diselesaikan dengan aturan L’Hopital setelah persoalan tersebut diubah menjadi berbentuk atau , karena


Tentukan nilai dari
Ini merupakan bentuk tak tentu , karena dan
Dapat diselesaikan sbb
= (i) (bentuk (i) ) atau
= (ii) (bentuk (ii) )
Kita dapat memilih salah satu untuk diselesaikan. Misalkan yang akan kita selesaikan kali ini adalah bentuk yang nomor (ii)
= =
=
Silahkan Anda coba selesaikan jika bentuk yang dipilih adalah bentuk nomor (i).

7.3. ATURAN L’HOPITAL UNTUK BENTUK , 00, DAN
Bentuk tak tentu 00, 0 dan 1 dapat dituliskan sebagai bentuk logaritma sedemikian sehingga aturan L’Hopital dapat digunakan.
Perhatikan bahwa

sehingga didapat , dengan L =
Jika didapat berbentuk atau , dapat diselesaikan dengan cara seperti di atas.


Akan dicari
= eL, dengan
sehingga didapat = e1 = e